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# Calcul du débit d'une passe à macro-rugosité

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Le calcul du débit d'une passe à macro-rugosité correspond à l'implémentation de l'algorithme et des équations présentent dans Cassan et al. (2016)[^1].
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## Principe général du calcul

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![Organigramme de la méthode de calcul](cassan2016_flow_chart_design_method.png)

*Extrait de Cassan et al., 2016[^1]*

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Il existe trois cas :
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- le cas submergé quand \(h \ge 1.1 \times k\)
- le cas émergent quand \(h \le k\)
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- le cas quasi-émergent pour \(k < h < 1.1 \times k\)
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Dans le cas quasi-émergent, le calcul du débit correspond à une transition entre les formules cas émergent et cas submergé :

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$$Q = a \times Q_{submerge} + (1 - a) \times Q_{emergent}$$
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avec \(a = \dfrac{h / k - 1}{1.1 - 1}\)
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## Cas submergé

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Le calcul se fait en intégrant le profil de vitesse dans et au-dessus des macrorugosités.
Les vitesses calculées sont les moyennes temporelles et spatiales par plan parallèle au fond.

Dans les macrorugosités, les vitesses sont obtenues par la double moyenne des équations de Navier-Stokes en régime uniforme avec un modèle de longueur de mélange pour la turbulence.

Au dessus des macrorugosités, l'analyse classique de couche limite turbulente est maintenue.
Le profil de vitesse est continu au sommet des macrorugosités et ce dernier dépend des conditions aux limites fixées par l'hydraulique&nbsp;:

- vitesse au fond (sans turbulence) en m/s&nbsp;:
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$$u_0 = \sqrt{2 g S D (1 - \sigma C)/(C_d C)}$$

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- contrainte de cisaillement totale au sommet des rugosités en m/s&nbsp;:

$$u_* = \sqrt{gS(h-k)}$$
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La vitesse moyenne du lit est donnée par intégration des débits entre et au-dessus des blocs&nbsp;:

$$\bar{u} = \frac{Q_{inf} + Q_{sup}}{h}$$
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avec respectivement \(Q_{inf}\) et \(Q_{sup}\) les débits unitaires pour la partie dans la canopée et la partie au dessus de la canopée.

### Calcul du débit unitaire *Q<sub>inf</sub>* dans la canopée

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Le débit dans la canopée est obtenu par intégration du profil de vitesse (Eq. 9, Cassan et al., 2016)&nbsp;:
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$$Q_{inf} = \int_{0}^1 u(\tilde{z}) d \tilde{z}$$

avec

$$u(\tilde{z}) = u_0 \sqrt{\beta \left( \frac{h}{k} -1 \right) \frac{\sinh(\beta \tilde{z})}{\cosh(\beta)} + 1}$$

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avec \(\beta^2\) le ratio entre les forces trainée et de turbulence (Cassan et al., 2016, Eq. 8)&nbsp;:
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$$\beta = \sqrt{(k / \alpha_t)(C_d C k / D)/(1 - \sigma C)}$$

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avec :

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$$C_d = C_{x} f_{h_*}(h_*)$$
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et \(\alpha_t\) obtenu à partir de la résolution de l'équation suivante&nbsp;:
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$$\alpha_t u(1) - l_0 u_* = 0$$

avec

$$l_0 = \min \left( s, 0.15 k \right)$$

avec

$$s = D \left( \frac{1}{\sqrt{C}} - 1 \right)$$

### Calcul du débit unitaire *Q<sub>sup</sub>* au dessus de la canopée

$$Q_{sup} = \int_k^h u(z) dz$$

avec (Eq. 12, Cassan et al., 2016)

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$$u(z) = \frac{u_*}{\kappa} \ln \left( \frac{z - d}{z_0} \right)$$
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avec (Eq. 14, Cassan et al., 2016)

$$z_0 = (k - d) \exp \left( {\frac{-\kappa u_k}{u_*}} \right)$$

et (Eq. 13, Cassan et al., 2016)

$$ d =  k - \frac{\alpha_t u_k}{\kappa u_*}$$

ce qui donne

$$Q_{sup} = \frac{u_*}{\kappa} \left( (h - d) \left( \ln \left( \frac{h-d}{z_0} \right) - 1\right)  - \left( (k - d) \left( \ln \left( \frac{k-d}{z_0} \right) - 1 \right) \right) \right)$$

## Cas émergent

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Le calcul du débit se fait par itérations successives qui consistent à trouver la valeur de débit permettant d'obtenir l'égalité entre la vitesse débitante \(V\) et la vitesse moyenne du lit donnée par l'équilibre des forces de frottements (fond + traînée) avec la gravité&nbsp;:
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$$u_0 = \sqrt{\frac{2 g S D (1 - \sigma C)}{C_d f_F(F) C (1 + N)}}$$
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avec

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$$N = \frac{\alpha C_f}{C_d f_F(F) C h_*}$$
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avec

$$\alpha = 1 - (a_y / a_x \times C)$$

## Formules utilisées

### Vitesse débitante *V*

$$V = \frac{Q}{B \times h}$$

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### Vitesse moyenne entre les blocs *V<sub>g</sub>*
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Eq. 1 Cassan et al (2016)[^1] et Eq. 1 Cassan et al (2014)[^2]:

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$$V_g = \frac{V}{1 - \sqrt{(a_x/a_y)C}}$$

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### Coefficient de trainée d'un bloc *C<sub>d0</sub>*

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\(C_{d0}\) est le coefficient de trainée d'un bloc de hauteur infinie pour un Froude \(F << 1\) (Cassan et al, 2014[^2]).
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Il vaut 1 pour un bloc circulaire et 2 pour un plot à face plane (Cassan et al, 2014[^2], Table 2).

Les modifications apportées à \(f_{h_*}(h_*)\) dans la version 4.14.0 de Cassiopée entraînent l'utilisation d'un coefficient de trainée \(C_x\) calibré sur les résultats des expérimentations pour le calcul de \(C_d\)&nbsp;:

$$ C_x = C_{d0}* 1.4917 -0.3914 $$

On a \(C_{x} = 1.1003\) pour \(C_{d0}=1\) et \(C_{x} = 2.592\) pour \(C_{d0}=2\).
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### Coefficient de forme de bloc *σ*

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Cassan et al. (2014)[^2], et Cassan et al. (2016)[^1] définit \(\sigma\) comme le ratio entre l'aire du bloc vu du dessus et \(D^2\).
On a donc \(\sigma = \pi / 4\) pour un bloc circulaire et \(\sigma = 1\) pour un bloc carré.
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### Ratio entre la vitesse moyenne à l'aval d'un block et la vitesse maximale *r*
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La valeur de ce ratio est de (\(r=1.1\)) pour les blocs cylindriques (Tran et al. 2016 [^3]), et (\(r=1.5\)) pour les blocs à faces planes (Cassan et al. (2014)[^2], Table 2).
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La formule utilisée dans Cassiopée permet une prise en compte de formes de plots intermédiaires entre les formes circulaire et carré à partir des valeurs de \(C_{d0} = 1\) pour les blocs cylindriques et \(C_{d0} = 2\) pour les blocs à faces planes&nbsp;:
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$$ r = 0.4 C_{d0} + 0.7 $$
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### Froude *F*

$$F = \frac{V_g}{\sqrt{gh}}$$

### Fonction de correction du coefficient de trainée liée au Froude *f<sub>F</sub>(F)*

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Si \(F < 1.3\) (Eq. 19, Cassan et al., 2014[^2])
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$$f_F(F) = \min \left( \frac{1}{1- F^2 / 4}, \frac{1}{F^{\frac{2}{3}}} \right)^2$$
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sinon (distinction numérique car \(\frac{r}{1- (F^2 / 4)}\) est non défini pour \(F > 2\))
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$$f_F(F) = F^{\frac{-4}{3}}$$

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### Vitesse maximale *u<sub>max</sub>*

D'après l'équation 19 de Cassan et al., 2014[^2] :

$$ f_F(F) = \left( \dfrac{U_d}{V_g} \right)^2 $$

Et l'équation 4 :

$$ \frac{u_{max}}{V_g} = r \dfrac{u_d}{V_g} $$

On en déduit que :

$$ u_{max} = V_g r \sqrt{f_F(F)} $$

### Fonction de correction du coefficient de trainée lié à la profondeur relative *f<sub>h\*</sub>(h<sub>\*</sub>)*

178
Depuis la version 4.14.0 de Cassiopée, l'équation utilisée dans Cassiopée diffère légèrement de l'équation 20 de Cassan et al. 2014[^2] et l'équation 6 de Cassan et al. 2016[^1]. En effet, les récentes expériences ont montré une meilleure corrélation avec la formule suivante :
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$$ f_{h_*}(h_*) = \min \left((1 + 1 / h_*^2), 3 \right) $$
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### Coefficient de friction du lit *C<inf>f</inf>*

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Si \(k_s < 10^{-6} \mathrm{m}\) alors on utilise la formule de Blasius
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$$C_f = 0.3164 / 4 * Re^{-0.25}$$

avec

$$Re = u_0 \times h / \nu$$

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Sinon (Eq. 3, Cassan et al., 2016 d'après Rice et al., 1998)
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$$C_f = \frac{2}{(5.1 \mathrm{log} (h/k_s)+6)^2}$$


## Notations

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- \(\alpha\)&nbsp;: ratio de l'aire concernée par la friction du lits sur \(a_x \times a_y\)
- \(\alpha_t\)&nbsp;: échelle de longueur de la turbulence dans la couche des blocs(m)
- \(\beta\)&nbsp;: ratio entre la contrainte due à la trainée et la contrainte due aux turbulences
- \(\kappa\)&nbsp;: constante de Von Karman = 0.41
- \(\sigma\)&nbsp;: ratio entre l'aire du block dans le plan X,y et \(D^2\)
- \(a_x\)&nbsp;:  largeur d'une cellule (perpendiculaire à l'écoulement) (m)
- \(a_y\)&nbsp;:  longueur d'une cellule (parallèle à l'écoulement) (m)
- \(B\)&nbsp;: largeur de la passe (m)
- \(C\)&nbsp;: concentration de blocs
- \(C_d\)&nbsp;: coefficient de trainée d'un bloc dans les conditions d'écoulement actuel
- \(C_{d0}\)&nbsp;: coefficient de trainée d'un bloc considérant un bloc infiniment haut avec \(F \ll 1\)
- \(C_f)\)&nbsp;: coefficient de friction du lit
- \(d\)&nbsp;: déplacement dans le plan zéro du profil logarithmique (m)
- \(D\)&nbsp;: largeur du bloc face à l'écoulement (m)
- \(F\)&nbsp;: nombre de Froude basé sur \(h\) et \(V_g\)
- \(g\)&nbsp;: accélération de la gravité = 9.81 m.s<sup>-2</sup>
- \(h\)&nbsp;: profondeur moyenne (m)
- \(h_*\)&nbsp;: profondeur adimensionnelle (\(h / D\))
- \(k\)&nbsp;: hauteur utile des blocs (m)
- \(k_s\)&nbsp;: hauteur de la rugosité (m)
- \(l_0\)&nbsp;: échelle de longueur de la turbulence au sommet des blocs (m)
- \(N\)&nbsp;: ratio entre la friction du lit et la force de trainée
- \(Q\)&nbsp;: débit (m<sup>3</sup>/s)
- \(S\)&nbsp;: pente de la passe (m/m)
- \(u_0\)&nbsp;: vitesse moyenne dans le lit (m/s)
- \(u_*\)&nbsp;: vitesse de cisaillement (m/s)
- \(V\)&nbsp;: vitesse débitante (m/s)
- \(V_g\)&nbsp;: vitesse entre les blocs (m/s)
- \(s\)&nbsp;: distance minimale entre les blocs (m)
- \(z\)&nbsp;: position verticale (m)
- \(z_0\)&nbsp;: rugosité hydraulique (m)
- \(\tilde{z}\)&nbsp;: position verticale adimensionnelle \(\tilde{z} = z / k\)
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[^1]: Cassan L, Laurens P. 2016. Design of emergent and submerged rock-ramp fish passes. Knowl. Manag. Aquat. Ecosyst., 417, 45. https://doi.org/10.1051/kmae/2016032
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234

[^2]: Cassan, L., Tien, T.D., Courret, D., Laurens, P., Dartus, D., 2014. Hydraulic Resistance of Emergent Macroroughness at Large Froude Numbers: Design of Nature-Like Fishpasses. Journal of Hydraulic Engineering 140, 04014043. https://doi.org/10.1061/(ASCE)HY.1943-7900.0000910
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238

[^3]: Tran, T.D., Chorda, J., Laurens, P., Cassan, L., 2016. Modelling nature-like fishway flow around unsubmerged obstacles using a 2D shallow water model. Environmental Fluid Mechanics 16, 413–428. https://doi.org/10.1007/s10652-015-9430-3