Commit 2e30b7b3 authored by Dorchies David's avatar Dorchies David
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......@@ -126,13 +126,17 @@ $$V_g = \frac{V}{1 - \sqrt{(a_x/a_y)C}}$$
\(C_{d0}\) is the drag coefficient of a block considering a single block
infinitely high with \(F << 1\) (Cassan et al, 2014[^2]).
It is 1 for a circular block and 2 for a flat-faced block.
The modifications made to \(f_{h_*}(h_*)\) in version 4.14.0 of Cassiopée lead to the use of a drag coefficient \(C_x\) calibrated on the results of the experiments for the calculation of \(C_d\):
| Block shape | Cylinder | "Rounded face" shape | Square-based parallelepiped | "Flat face" shape |
|:------------|:--------:|:--------------------:|:-----------------------:|:--------------------:|
| | ![Cylinder](bloc_cylindre.png) | !["Rounded face" shape](bloc_face_arrondie.png) | ![Square-based parallelepiped](bloc_base_carree.png) | !["Flat face" shape](bloc_face_plate.png) |
| Value of \(C_{d0}\) | 1.0 | 1.2-1.3 | 2.0 | 2.2 |
$$ C_x = C_{d0}* 1.4917 -0.3914 $$
When establishing the statistical formulae for the 2006 technical guide (Larinier et al. 2006[^4]), the definition of the block shapes to be tested was based on the use of quarry blocks with neither completely round nor completely square faces.
The so-called "rounded face" shape was thus not completely cylindrical, but had a trapezoidal bottom face (seen in plan).
Similarly, the "flat face" shape was not square in cross-section, but also had a trapezoidal bottom face.
These differences in shape between the "rounded face" and a true cylinder on the one hand, and the "flat face" and a true parallelepiped with a square base on the other hand, result in slight differences between them in the shape coefficients \(C_{d0}\).
We have \(C_{x} = 1.1003\) for \(C_{d0}=1\) and \(C_{x} = 2.592\) for \(C_{d0}=2\).
### Block shape coefficient *σ*
......@@ -142,9 +146,14 @@ For the cylindrical form of the blocks, \(\sigma\) is equal to \(\pi / 4\) and f
### Ratio between the average speed downstream of a block and the maximum speed *r*
The value of this ratio is (\(r=1.1\)) for cylindrical blocks (Tran et al. 2016 [^3]), and (\(r=1.5\)) for flat-faced blocks (Cassan et al. (2014)[^2], Table 2).
The values of (\r\) depends on the block shapes (Cassan et al., 2014[^2] et Tran et al. 2016 [^3]):
The formula used in Cassiopée allows to take into account shapes of intermediate blocks between circular and square shapes from the values of \(C_{d0} = 1.1\) for cylindrical blocks and \(C_{d0} = 2.6\) for blocks with flat faces:
- round : \(r_Q=1.1\)
- "rounded face" shape : \(r=1.2\)
- square-based parallelepiped : \(r=1.5\)
- "flat face" shape : \(r=1.6\)
Cassiopée implements a formula depending on \(C{d0}\):
$$ r = 0.4 C_{d0} + 0.7 $$
......@@ -154,33 +163,24 @@ $$F = \frac{V_g}{\sqrt{gh}}$$
### Froude-related drag coefficient correction function *f<sub>F</sub>(F)*
If \(F < 1.3\) (Eq. 5, Cassan et al., 2016)
$$f_F(F) = \mathrm{min} \left( \frac{\sigma}{1- (F^2 / 4)}, \frac{1}{F^{\frac{2}{3}}} \right)^2$$
If \(F < 1\) (Eq. 19, Cassan et al., 2014[^2]):
else (The distinction is only numerical because \(1- (F^2 / 4)\) is not defined for \(F > 2\))
$$f_F(F) = \min \left( \frac{r}{1- \frac{F_{g}^{2}}{4}}, \frac{1}{F^{\frac{2}{3}}} \right)^2$$
$$f_F(F) = F^{\frac{-4}{3}}$$
otherwise \(f_F(F) = 1\) because a torrential flow upstream of the blocks is theoretically impossible because of the hydraulic jump caused by the downstream block.
### Maximum speed *u<sub>max</sub>*
According to equation 19 of Cassan et al, 2014[^2] :
$$ f_F(F) = \left( \dfrac{U_d}{V_g} \right)^2 $$
And equation 4:
$$ \frac{u_{max}}{V_g} = r \dfrac{u_d}{V_g} $$
It is deduced that :
$$ u_{max} = V_g r \sqrt{f_F(F)} $$
$$ u_{max} = V_g \sqrt{f_F(F)} $$
### Drag coefficient correction function linked to relative depth *f<sub>h\*</sub>(h<sub>\*</sub>)*
The equation used in Cassiopeia differs slightly from Equation 20 of Cassan et al. 2014 [^2] and Equation 6 of Cassan et al. 2016 [^1]. Indeed, recent experiments have shown a better correlation with the following formula :
The equation used in Cassiopeia differs slightly from equation 20 of Cassan et al. 2014[^2] and equation 6 of Cassan et al. 2016[^1].
This formula is a fit to the experimental measurements on circular blocks used in Cassan et al. 2016[^1]:
$$ f_{h_*}(h_*) = \min \left((1 + 1 / h_*^2), 3 \right) $$
$$ f_{h_*}(h_*) = (1 + 1 / h_*^{2}) $$
### Coefficient of friction of the bed *C<inf>f</inf>*
......
......@@ -122,26 +122,33 @@ $$V_g = \frac{V}{1 - \sqrt{(a_x/a_y)C}}$$
### Coefficient de trainée d'un bloc *C<sub>d0</sub>*
\(C_{d0}\) est le coefficient de trainée d'un bloc de hauteur infinie pour un Froude \(F << 1\) (Cassan et al, 2014[^2]).
\(C_{d0}\) est le coefficient de trainée théorique d'un bloc de hauteur infinie pour un Froude \(F << 1\) (Cassan et al, 2014[^2]).
Il vaut 1 pour un bloc circulaire et 2 pour un plot à face plane (Cassan et al, 2014[^2], Table 2).
| Forme du bloc | Cylindre | Forme "face arrondie" | Parallélépipède à base carré | Forme "face plate" |
|:--------------|:--------:|:---------------------:|:----------------------------:|:------------------:|
| | ![Cylindre](bloc_cylindre.png) | ![Forme "face arrondie"](bloc_face_arrondie.png) | ![Parallélépipède à base carré](bloc_base_carree.png) | ![Forme "face plate"](bloc_face_plate.png) |
| Valeur de \(C_{d0}\) | 1.0 | 1.2-1.3 | 2.0 | 2.2 |
Les modifications apportées à \(f_{h_*}(h_*)\) dans la version 4.14.0 de Cassiopée entraînent l'utilisation d'un coefficient de trainée \(C_x\) calibré sur les résultats des expérimentations pour le calcul de \(C_d\)&nbsp;:
$$ C_x = C_{d0}* 1.4917 -0.3914 $$
On a \(C_{x} = 1.1003\) pour \(C_{d0}=1\) et \(C_{x} = 2.592\) pour \(C_{d0}=2\).
Lors de l'établissement des formules statistiques du guide technique de 2006 (Larinier et al. 2006[^4]), la définition des formes de blocs à tester a été établie dans la perspective de l'utilisation de blocs de carrière à faces ni complètement rondes, ni complètement carrées.
La forme dite à « face arrondie » n'était ainsi pas complètement cylindrique, mais présentait une face aval trapézoïdale (vue en plan).
De même, la forme dite à « face plane » ne présentait pas une section carrée, mais également une face aval trapézoïdale.
Ces différences de forme entre la « face arrondie » et un véritable cylindre d’une part, et la « face plate » et un véritable parallélépipède à base carrée d’autre part, se traduisent par de légères différences entre celles-ci sur les coefficients de forme \(C_{d0}\).
### Coefficient de forme de bloc *σ*
Cassan et al. (2014)[^2], et Cassan et al. (2016)[^1] définit \(\sigma\) comme le ratio entre l'aire du bloc vu du dessus et \(D^2\).
On a donc \(\sigma = \pi / 4\) pour un bloc circulaire et \(\sigma = 1\) pour un bloc carré.
### Ratio entre la vitesse moyenne à l'aval d'un block et la vitesse maximale *r*
### Rapport entre la vitesse moyenne à l'aval d'un bloc et la vitesse max *r*
Les valeurs de \(r\) dépendent de la forme des blocs (Cassan et al., 2014[^2] et Tran et al. 2016 [^3])&nbsp;:
La valeur de ce ratio est de (\(r=1.1\)) pour les blocs cylindriques (Tran et al. 2016 [^3]), et (\(r=1.5\)) pour les blocs à faces planes (Cassan et al. (2014)[^2], Table 2).
- rond : \(r=1.1\)
- face arrondie : \(r=1.2\)
- carré : \(r=1.5\)
- face plate : \(r=1.6\)
La formule utilisée dans Cassiopée permet une prise en compte de formes de plots intermédiaires entre les formes circulaire et carré à partir des valeurs de \(C_{d0} = 1\) pour les blocs cylindriques et \(C_{d0} = 2\) pour les blocs à faces planes&nbsp;:
Cassiopée propose une formule de calcul en fonction de \(C{d0}\)&nbsp;:
$$ r = 0.4 C_{d0} + 0.7 $$
......@@ -149,35 +156,28 @@ $$ r = 0.4 C_{d0} + 0.7 $$
$$F = \frac{V_g}{\sqrt{gh}}$$
### Fonction de correction du coefficient de trainée liée au Froude *f<sub>F</sub>(F)*
### Fonction de correction du coefficient de trainée liée au Froude *f<sub>F</sub>(F,r)*
Si \(F < 1.3\) (Eq. 19, Cassan et al., 2014[^2])
Si \(F < 1\) (Eq. 19, Cassan et al., 2014[^2])&nbsp;:
$$f_F(F) = \min \left( \frac{1}{1- F^2 / 4}, \frac{1}{F^{\frac{2}{3}}} \right)^2$$
$$f_F(F) = \min \left( \frac{r}{1- \frac{F_{g}^{2}}{4}}, \frac{1}{F^{\frac{2}{3}}} \right)^2$$
sinon (distinction numérique car \(\frac{r}{1- (F^2 / 4)}\) est non défini pour \(F > 2\))
$$f_F(F) = F^{\frac{-4}{3}}$$
sinon \(f_F(F) = 1\) car un écoulement torrentiel à l'amont des blocs est théoriquement impossible à cause du ressaut hydraulic provoqué par le bloc aval.
### Vitesse maximale *u<sub>max</sub>*
D'après l'équation 19 de Cassan et al., 2014[^2] :
$$ f_F(F) = \left( \dfrac{U_d}{V_g} \right)^2 $$
Et l'équation 4 :
$$ \frac{u_{max}}{V_g} = r \dfrac{u_d}{V_g} $$
On en déduit que :
$$ u_{max} = V_g \sqrt{f_F(F)} $$
$$ u_{max} = V_g r \sqrt{f_F(F)} $$
### Fonction de correction du coefficient de trainée lié à la profondeur relative *f<sub>h\*</sub>(h<sub>\*</sub>)*
Depuis la version 4.14.0 de Cassiopée, l'équation utilisée dans Cassiopée diffère légèrement de l'équation 20 de Cassan et al. 2014[^2] et l'équation 6 de Cassan et al. 2016[^1]. En effet, les récentes expériences ont montré une meilleure corrélation avec la formule suivante :
L'équation utilisée dans Cassiopée diffère légèrement de l'équation 20 de Cassan et al. 2014[^2] et l'équation 6 de Cassan et al. 2016[^1].
Cette formule est un ajustement sur les mesures expérimentales sur les blocs circulaires utilisées dans de Cassan et al. 2016[^1]&nbsp;:
$$ f_{h_*}(h_*) = \min \left((1 + 1 / h_*^2), 3 \right) $$
$$ f_{h_*}(h_*) = (1 + 1 / h_*^{2}) $$
### Coefficient de friction du lit *C<inf>f</inf>*
......@@ -235,4 +235,5 @@ $$C_f = \frac{2}{(5.1 \mathrm{log} (h/k_s)+6)^2}$$
[^3]: Tran, T.D., Chorda, J., Laurens, P., Cassan, L., 2016. Modelling nature-like fishway flow around unsubmerged obstacles using a 2D shallow water model. Environmental Fluid Mechanics 16, 413–428. https://doi.org/10.1007/s10652-015-9430-3
[^4]: Larinier, Michel, Courret, D., Gomes, P., 2006. Guide technique pour la conception des passes à poissons “naturelles,” Rapport GHAPPE RA. Compagnie Nationale du Rhône / Agence de l’Eau Adour Garonne. http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.1.1834.8562
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