Manuel-utilisateur/Approfondissements.md

@@ -12,6 +12,9 @@
    - [Création des orthoimages](#cr%C3%A9ation-des-orthoimages)
 - [Principes de la mesure de la vitesse de déplacement des traceurs](#principes-de-la-mesure-de-la-vitesse-de-d%C3%A9placement-des-traceurs)
 - [Présentation détaillée des filtres](#présentation-détaillée-des-filtres)
+   - [Test médian](#test-median)  
+   - [Largeur du pic de corrélation](#largeur-du-pic-de-corrélation)
+   - [Dispersion angulaire](#dispersion-angulaire)
 - [Principes du calcul de débit](#principes-du-calcul-de-d%C3%A9bit)
    - [Définition et interpolation du profil bathymétrique](#d%C3%A9finition-et-interpolation-du-profil-bathym%C3%A9trique)
    - [Estimation de la vitesse moyenne en chaque point du transect](#estimation-de-la-vitesse-moyenne-en-chaque-point-du-transect)
@@ -225,13 +228,78 @@ Les vitesses de surface sont calculées à partir des déplacements $b_{i+\Delta
 
 # Présentation détaillée des filtres
 
-**_Fudaa-LSPIV_** permet [d'appliquer des filtres](#filtrage-des-r%C3%A9sultats-instantan%C3%A9s) pour éliminer les vitesses aberrantes issues du calcul statistique. La gamme de filtre disponible a été étendue depuis la version 1.11, d'après les travaux de [Bodart et al., (2024)](https://doi.org/10.1029/2023WR034740).
+**_Fudaa-LSPIV_** permet [d'appliquer des filtres](#filtrage-des-r%C3%A9sultats-instantan%C3%A9s) pour éliminer les vitesses aberrantes issues du calcul statistique. La gamme de filtre disponible a été étendue depuis la version 1.11, voir l'article [Bodart et al., (2024)](https://doi.org/10.1029/2023WR034740) pour une présentation complète des filtres et une étude de leur impact sur des mesures de débits dans des cas typiques.
 
-Des filtres sur la valeur minimale du coefficient de corrélation, sur l'amplitude et l'orientation des vitesses sont implémentés dans le logiciel.
+## Test médian 
 
-Enfin, **_Fudaa-LSPIV_** permet de [moyenner](#moyenne-des-r%C3%A9sultats) les champs de vitesses instantanées filtrées pour calculer un champ de vitesses moyennées sur la durée de la séquence d’images.
+Le test médian est un **filtre de cohérence spatiale** : il rejette les vitesses non homogènes avec leurs voisines les plus proches (méthode proposée par [Westerweel & Scarano (2005)](https://link.springer.com/article/10.1007/s00348-005-0016-6)). Le test est réalisé pour chaque composante de vitesse (Vx et Vy). 
 
-![](./media/image115.png)
+Les plus proches voisins sont identifiés à l'aide d'un KD-Tree [(Bentley, 1975)](Manuel-utilisateur/Références-bibliographiques). Le nombre de voisins ainsi que la distance maximale des voisins au point peuvent être passés en paramètres. 
+
+> Une distance importante est paramétrée par défaut (10 m) afin que seul le critère de nombre de voisins contraigne la détection. Il serait aussi possible de mettre un nombre de voisins important (50) et une distance réduite, un mètre par exemple, afin de prendre tous les voisins dans un rayon d'un mètre autours du point.
+
+![imagemedtest](uploads/dde623ba4a371e6cdd1f61689a47fe08/imagemedtest.png){width=140px}
+
+Soit $u_0$ la composante de vitesse au point et $u_i$ la composante de vitesse d'un voisin $i$. Dans le cas où 8 voisins sont considérés, la médiane des vitesses voisines $u_{ref}$ est calculée telle que : 
+
+```math
+u_{ref} = median(u_1, u_2, ..., u_8)
+```
+Un estimateur robuste des fluctuations locales de vitesse $K_v$ est calculé à partir des écarts des vitesses voisines à la médiane et d'un offset de normalisation $\epsilon$ entré par l'utilisateur. 
+
+```math
+r_i = u_i - u_{ref}  \\
+K_v = median(r_1, r_2, ..., r_8) + \epsilon
+```
+
+L'écart de la vitesse au point à la médiane des vitesses voisines est normalisé par l'estimateur des fluctuations locales de vitesse $K_v$. 
+
+```math
+r_0^* = \frac{|u_0 - u_{ref}|}{K_v} = \frac{|u_0 - u_{ref}|}{median(r_1, r_2, ..., r_8) + \epsilon} 
+```
+L'écart obtenu est enfin comparé au seuil de tolérance _**r0min**_
+
+```math
+si \quad r_0^* > r0_{min} \rightarrow rejet
+```
+## Largeur du pic de corrélation
+
+Le filtre sur largeur du pic de corrélation permet de rejeter les points où le pic de corrélation est trop large par rapport à la vitesse calculée. 
+
+Ce filtre analyse la distribution des corrélations autour du pic.   
+
+![imagepiccorrel](uploads/dc56637dc326d67b11b5576a8fb96ee6/imagepiccorrel.png){width="400px"}
+
+Soit $r_{max}$ la valeur du pic de corrélation. La largeur du pic est mesurée à $0.8r_{max}$ (80% de la hauteur du pic).  
+L'aire $A_r$ (en pix²) autour du pic présentant une corrélation $r$ supérieure à $0.8r_{max}$ est évaluée à l'aide d'un algorithme de croissance de région appliqué sur le champ de corrélation. L'algorithme est initialisé à la position du pic de corrélation et s'exécute avec la condition $r \gt 0.8r_{max}$ en considérant un voisinage V4 (4 voisins cardinaux). 
+> L'algorithme de croissance de région permet d'identifier une région remplissant une condition définie autours d'un pixel de départ
+
+Le rayon équivalent $\rho$ de la zone $A_r$ est calculé tel que : 
+
+```math 
+\rho = \sqrt{\frac{A_r}{\pi}}
+```
+Le rayon $\rho$ est enfin comparé au produit de la norme du déplacement $d$ et du seuil de tolérance _**rhomax**_ : 
+
+```math
+si \quad \rho > rho_{max}.d \rightarrow rejet
+```
+## Dispersion angulaire 
+
+Le filtre de dispersion angulaire écarte les points présentant une dispersion trop importante des orientation des vitesses. Ce filtre est plus drastique que les précédents, **il rejette directement toutes les vitesses au point**. 
+
+La variance circulaire $circvar$ pour un échantillon de $n$ angles observés $x_0, x_1,..., x_n$ s'exprime telle que : 
+
+```math 
+circvar = 1 - \mid z \mid = 1 - \mid \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}{e^{ix_k}} \mid
+```
+Où $|z|$ est la longueur du nombre complexe $z$ et $i$ l'unité de la partie imaginaire.
+
+La variance circulaire est finalement comparée au seuil de tolérance _**circvarmax**_ : 
+
+```math
+si \quad circvar > circvar_{max} \rightarrow rejet
+```
 
 # Principes du calcul de débit