Manuel-utilisateur/Approfondissements.md

@@ -303,68 +303,82 @@ si \quad circvar > circvar_{max} \rightarrow rejet
 
 # Principes du calcul de débit
 
-Connaissant [le profil bathymétrique](#sp%C3%A9cifier-un-ou-plusieurs-transects-bathym%C3%A9triques) d'au moins une section en travers incluse dans la zone d'analyse, **_Fudaa-LSPIV_** peut calculer le débit transitant par cette section. Le transect bathymétrique peut être [interpolé à un pas défini par l'utilisateur](#param%C3%A8tres-des-transects), et une vitesse de surface est calculée pour chaque pas à partir des vitesses LSPIV les plus proches (pondération en fonction de l'éloignement). L'utilisateur définit également un coefficient reliant la vitesse de surface à la vitesse moyennée sur la profondeur pour chaque pas de calcul. Le débit est alors calculé par la méthode de la section médiane, l'interpolation des vitesses vers les bords se faisant selon l'hypothèse du nombre de Froude variant linéairement vers zéro au bord.
+Connaissant [le profil bathymétrique](#sp%C3%A9cifier-un-ou-plusieurs-transects-bathym%C3%A9triques) d'au moins une section en travers incluse dans la zone d'analyse, **_Fudaa-LSPIV_** peut calculer le débit transitant par cette section. Le transect bathymétrique peut être [interpolé à un pas défini par l'utilisateur](##Calcul-du-débit/param%C3%A8tres-des-transects), et une vitesse de surface est calculée pour chaque pas à partir des vitesses LSPIV les plus proches (pondération en fonction de l'éloignement). L'utilisateur définit également un coefficient reliant la vitesse de surface à la vitesse moyennée sur la profondeur pour chaque pas de calcul. Le débit est alors calculé par la méthode de la section médiane, l'interpolation des vitesses vers les bords se faisant selon l'hypothèse du nombre de Froude variant linéairement vers zéro au bord.
 
 ## Définition et interpolation du profil bathymétrique
 
-Les points du fond doivent être ordonnés depuis la rive gauche jusqu’à la rive droite.
+Les **points du fond** doivent être ordonnés **depuis la rive gauche jusqu’à la rive droite**.
 
-Le transect doit contenir au moins un point dont la cote est inférieure à celle de l’eau et les points aux extrémités doivent avoir une cote supérieure à celle de l’eau. Il est possible d’avoir des points situés au-dessus du niveau d’eau (îles) encadrés par des zones en eau.
+Le **transect **doit contenir au moins **un point dont la cote est inférieure à celle de l’eau** et les points aux extrémités doivent avoir une cote supérieure à celle de l’eau. Il est possible d’avoir des points situés au-dessus du niveau d’eau (îles) encadrés par des zones en eau.
 
-Le transect bathymétrique n’est pas forcément mesuré, sur le terrain, en suivant une droite. Il est donc nécessaire de réaliser une projection orthogonale des points mesurés sur la droite définie par les points extrêmes du transect (premier et dernier point).
+Le transect bathymétrique n’est pas forcément mesuré, sur le terrain, en suivant une droite. Il est donc nécessaire de réaliser une **projection orthogonale** des points mesurés sur la **droite définie par les points extrêmes du transect** (premier et dernier point).
 
-![](./media/image116.png)
+![image116](uploads/98c1c433430ee6714bdb883cc9fb6f1b/image116.png)
 
-Comme on va calculer une vitesse associée à chaque point de bathymétrie connue, il est indispensable que le transect contienne un nombre important de point de bathymétrie dans la zone d’écoulement (au moins 20). Si le relevé de terrain initial est trop peu dense spatialement, il est possible d’interpoler des points. L’utilisateur définit un **_Pas d’espace d’interpolation de la bathymétrie_**, en mètre, dans les [**_Paramètres du transect_**](#param%C3%A8tres-des-transects). En partant de la rive gauche, un point de bathymétrie va être ajouté quand la distance entre deux mesures est supérieure au Pas d’espace d’interpolation. La profondeur associée à ce point ajouté est calculé comme une interpolation linéaire entre les points de mesures entourant le point ajouté.
+Comme on va calculer une vitesse associée à chaque point de bathymétrie connue, il est indispensable que le transect contienne un **nombre important de point de bathymétrie dans la zone d’écoulement (au moins 20)**. Si le relevé de terrain initial est trop peu dense spatialement, il est possible d’**interpoler des points**. 
 
-![](./media/image117.png)
+L’utilisateur définit un **_Pas d’espace d’interpolation de la bathymétrie_**, en mètre, dans les [**_Paramètres du transect_**](#Calcul-du-débit/param%C3%A8tres-des-transects). En partant de la rive gauche, un point de bathymétrie va être ajouté quand la distance entre deux mesures est supérieure au Pas d’espace d’interpolation. La profondeur associée à ce point ajouté est calculé comme une interpolation linéaire entre les points de mesures entourant le point ajouté.
 
-![](./media/image118.png)
+![image117](uploads/5c1a94222468cb39b5cd7cd74b47ca59/image117.png)
+
+![image118](uploads/29de0c885f5827cf0a4ac4b0f808556b/image118.png)
 
 ## Estimation de la vitesse moyenne en chaque point du transect
 
-Pour chaque transect, l’utilisateur définit un rayon de recherche. Dans ce voisinage autour de chaque nœud, les au maximum 3 résultats de vitesse les plus proches sont recherchés. Si au moins un résultat est trouvé, alors la vitesse moyenne sur la verticale $`V_{i}`$ au nœud _i_ est calculée comme la moyenne des vitesses voisines pondérée par l’inverse des distances, multipliée par le coefficient de surface α spécifié par l’utilisateur pour le transect considéré :
+Pour chaque transect, l’utilisateur définit un _**rayon de recherche**_. Dans ce voisinage autour de chaque nœud, les au maximum **3 résultats de vitesse les plus proches sont recherchés**.  
+Si au moins un résultat est trouvé, alors la vitesse moyenne sur la verticale $`V_{i}`$ au nœud _i_ est calculée comme la moyenne des vitesses voisines pondérée par l’inverse des distances, multipliée par le coefficient de surface α spécifié par l’utilisateur pour le transect considéré :
 
-`V_{i} = \alpha\ \sum_{j = 1}^{N_{i}}{\ \frac{v_{i,j}}{d_{i,j}}}\ /\ \sum_{j = 1}^{N_{i}}{\ \frac{1}{d_{i,j}}}`
+```math
+V_{i} = \alpha \frac{\sum_{j = 1}^{N_{i}}{\frac{v_{i,j}}{d_{i,j}}}}{\ \sum_{j = 1}^{N_{i}}{\ \frac{1}{d_{i,j}}}}
+```
 
 Avec $`N_{i}`$ le nombre de résultats de vitesse $`v_{i,j}`$ trouvés au voisinage du nœud $`i`$ du transect ($N\_{i} \\leq 3)\\ $; la distance $`d_{i,j}`$ est celle entre la position $`(x_{j},y_{j})`$ du nœud de grille du résultat de vitesse $`v_{i,j}`$ et la position $`(x_{i},y_{i})`$ du nœud _i_ avec une distance de sécurité fixée à 1 mm :
 
-`d_{i,j} = max\lbrack 0.001;\left( x_{j} - x_{i} \right)^{2} + \left( y_{j} - y_{i} \right)^{2}\rbrack`
-
-Lorsqu’aucun résultat de vitesse LSPIV n’est trouvé dans le voisinage d’un nœud du transect, la vitesse moyenne normale au transect est reconstituée par interpolation linéaire des nombres de Froude locaux, entre les deux nœuds les plus proches, à droite et à gauche, dotées d’une vitesse interpolée. En effet, afin de valoriser au mieux la mesure de profondeur réalisée sur la verticale bathymétrique, il est intéressant d’utiliser une hypothèse hydraulique d’évolution linéaire du nombre de Froude local, au lieu de simplement corriger les surfaces des sous-sections mouillées, ou encore d’interpoler linéairement les vitesses. L’interpolation linéaire des nombres de Froude locaux est proposée par plusieurs références : <span dir="">Boiten (2000), Despax (2016), Fulford et Sauer (1986), ISO/TR 9823 (1990), Le Coz et al. (2008, 2012, 2014).</span>
+```math
+d_{i,j} = max\lbrack 0.001;\left( x_{j} - x_{i} \right)^{2} + \left( y_{j} - y_{i} \right)^{2}\rbrack
+```
 
-Soit une verticale bathymétrique positionnée à l’abscisse x<sub>i</sub>, dont les verticales complètes (avec profondeur et vitesses) les plus proches de chaque côté sont positionnées en x<sub>i-1</sub> et x<sub>i+1</sub> (Figure 1).
+Lorsqu’**aucun résultat de vitesse LSPIV n’est trouvé dans le voisinage** d’un nœud du transect, la vitesse moyenne normale au transect est **reconstituée par interpolation linéaire des nombres de Froude locaux**, entre les deux nœuds les plus proches, à droite et à gauche, dotées d’une vitesse interpolée.
 
-En i-1, la verticale complète permet d’avoir la profondeur _h_<sub>i-1</sub> ainsi que la vitesse moyenne sur la profondeur _V_<sub>i-1</sub>. On calcule le nombre de Froude local :
+> Afin de valoriser au mieux la mesure de profondeur réalisée sur la verticale bathymétrique, il est intéressant d’utiliser une hypothèse hydraulique d’évolution linéaire du nombre de Froude local, au lieu de simplement corriger les surfaces des sous-sections mouillées, ou encore d’interpoler linéairement les vitesses. L’interpolation linéaire des nombres de Froude locaux est proposée par plusieurs références : Boiten (2000), Despax (2016), Fulford et Sauer (1986), ISO/TR 9823 (1990), Le Coz et al. (2008, 2012, 2014).
 
-${Fr}_{i - 1} = \\frac{V_{i - 1}}{\\sqrt{{g.h}\_{i - 1}}}$,
+![image119](uploads/d93ab95e5bcf6c9d08cdb3c3ba045ec1/image119.png)
 
-avec _g_ l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre (9,81 m·s<sup>-2</sup>).
+Soit un nœud du transect positionné à l’abscisse $x_p$, dont les verticales complètes (avec profondeur et vitesses) les plus proches de chaque côté sont positionnées en $x_{i-1}$ et $x_{i+1}$.
 
-En i+1, le nombre de Froude local vaut :
+En $i-1$, la verticale complète permet d’avoir la profondeur $h_{i-1}$ ainsi que la vitesse moyenne sur la profondeur $V_{i-1}$. On calcule le nombre de Froude local :
 
-${Fr}_{i + 1} = \\frac{V_{i + 1}}{\\sqrt{{g.h}\_{i + 1}}}$
+```math
+{Fr}_{i - 1} = \frac{V_{i - 1}}{\sqrt{g.h_{i - 1}}}
+```
+avec $g$ l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre ($g = 9.81 m/s^{-2}$).
 
-Le nombre de Froude de la verticale bathymétrique, positionnée en i, est calculé par interpolation linéaire comme :
+En $i+1$, le nombre de Froude local vaut :
 
-$$\\ {Fr}_{i} = \\frac{\\left\\lbrack \\left( x_{i + 1} - x\_{i} \\right).{Fr}_{i - 1} + \\left( x_{i} - x\_{i - 1} \\right).{Fr}_{i + 1} \\right\\rbrack}{x_{i + 1} - x\_{i - 1}}$$
+```math
+{Fr}_{i + 1} = \frac{V_{i + 1}}{\sqrt{g.h_{i + 1}}}
+```
 
-Connaissant la profondeur en i, _h_<sub>i</sub>, on calcule la vitesse moyenne associée comme :
+Le nombre de Froude de la verticale bathymétrique, positionnée en i, est calculé par interpolation linéaire comme :
 
-$V\_{i} = {Fr}_{i}.\\sqrt{g.h_{i}}$
+```math
+Fr_{i} = \frac{\left\lbrack \left( x_{i + 1} - x_{i} \right).{Fr}_{i - 1} + \left( x_{i} - x_{i - 1} \right).{Fr}_{i + 1} \right\rbrack}{x_{i + 1} - x_{i - 1}}
+```
 
-![](./media/image119.png)
+Connaissant la profondeur en $i$, $h_i$, on calcule la vitesse moyenne associée comme :
 
-**Figure 1 : Calcul de la vitesse moyenne associée à une verticale bathymétrique par interpolation du nombre de Froude local _Fr<sub>i</sub>_**
+```math
+V_{i} = {Fr}_{i}.\sqrt{g.h_{i}}
+```
 
-<span dir="">Dans le cas d’une verticale bathymétrique située entre la rive et les autres verticales, il convient de faire une hypothèse sur la vitesse en rive : elle est théoriquement nulle, mais une extrapolation constante ou vers une vitesse fictive en rive calculée avec un coefficient de rive (cas du logiciel Barème) peut être plus réaliste qu’une extrapolation linéaire vers zéro, en pratique.</span>
+Dans le cas d’une verticale bathymétrique située entre la rive et les autres verticales, il convient de faire une hypothèse sur la vitesse en rive : elle est théoriquement nulle, mais une extrapolation constante ou vers une vitesse fictive en rive calculée avec un coefficient de rive (cas du logiciel Barème) peut être plus réaliste qu’une extrapolation linéaire vers zéro, en pratique.
 
 Le calcul du débit peut finalement se faire normalement sur l’ensemble des verticales, désormais toutes munies d’une vitesse moyenne estimée.
 
 ## Calcul du débit à travers chaque transect
 
-<span dir="">Vitesse médiane, vitesse normale au transect</span>
+Vitesse médiane, vitesse normale au transect
 
-<span dir="">Débits de bords ?</span>
+Débits de bords ?
 
-<span dir="">Taux débit mesuré / extrapolé</span>
+Taux débit mesuré / extrapolé