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doc(macrorugo): introduction of Cx in replacement of Cd0 in Cd Equation

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......@@ -60,7 +60,7 @@ $$\beta = \sqrt{(k / \alpha_t)(C_d C k / D)/(1 - \sigma C)}$$
with
$$C_d = C_{d0} (1 + 1 / h_*^2)$$
$$C_d = C_{x} f_{h_*}(h_*)$$
and \(\alpha_t\) obtained by solving the following equation:
......@@ -124,9 +124,15 @@ $$V_g = \frac{V}{1 - \sqrt{(a_x/a_y)C}}$$
### Drag coefficient of a single block *C<sub>d0</sub>*
\(C_{d0}\) is the drag coefficient of a block considering a single block
infinitely high with \(F << 1\) (Cassan et al, 2014[^2]). The coefficient has been readjusted in Cassiopée version 4.14.0 from the coefficients originally proposed in Cassan et al, 2014[^2], Table 2.
infinitely high with \(F << 1\) (Cassan et al, 2014[^2]).
It is now 1.1 for a circular block and 2.6 for a flat-faced block.
It is 1 for a circular block and 2 for a flat-faced block.
The modifications made to \(f_{h_*}(h_*)\) in version 4.14.0 of Cassiopée lead to the use of a drag coefficient \(C_x\) calibrated on the results of the experiments for the calculation of \(C_d\):
$$ C_x = C_{d0}* 1.4917 -0.3914 $$
We have \(C_{x} = 1.1003\) for \(C_{d0}=1\) and \(C_{x} = 2.592\) for \(C_{d0}=2\).
### Block shape coefficient *σ*
......@@ -138,9 +144,9 @@ For the cylindrical form of the blocks, \(\sigma\) is equal to \(\pi / 4\) and f
The value of this ratio is (\(r=1.1\)) for cylindrical blocks (Tran et al. 2016 [^3]), and (\(r=1.5\)) for flat-faced blocks (Cassan et al. (2014)[^2], Table 2).
The formula used in Cassiopeia allows to take into account shapes of intermediate blocks between circular and square shapes from the values of \(C_{d0} = 1.1\) for cylindrical blocks and \(C_{d0} = 2.6\) for blocks with flat faces:
The formula used in Cassiopée allows to take into account shapes of intermediate blocks between circular and square shapes from the values of \(C_{d0} = 1.1\) for cylindrical blocks and \(C_{d0} = 2.6\) for blocks with flat faces:
$$ r = (C_{d0} *0.4 + 1.121) / 1.5 $$
$$ r = 0.4 C_{d0} + 0.7 $$
### Froude *F*
......
......@@ -60,7 +60,7 @@ $$\beta = \sqrt{(k / \alpha_t)(C_d C k / D)/(1 - \sigma C)}$$
avec :
$$C_d = C_{d0} f_{h_*}(h_*)$$
$$C_d = C_{x} f_{h_*}(h_*)$$
et \(\alpha_t\) obtenu à partir de la résolution de l'équation suivante&nbsp;:
......@@ -122,9 +122,15 @@ $$V_g = \frac{V}{1 - \sqrt{(a_x/a_y)C}}$$
### Coefficient de trainée d'un bloc *C<sub>d0</sub>*
\(C_{d0}\) est le coefficient de trainée d'un bloc de hauteur infinie pour un Froude \(F << 1\) (Cassan et al, 2014[^2]). Le coefficient a été réajusté dans la version 4.14.0 de Cassiopée par rapport aux coefficients initialement proposés dans Cassan et al, 2014[^2], Table 2.
\(C_{d0}\) est le coefficient de trainée d'un bloc de hauteur infinie pour un Froude \(F << 1\) (Cassan et al, 2014[^2]).
Il vaut désormais 1.1 pour un bloc circulaire et 2.6 pour un plot à face plane.
Il vaut 1 pour un bloc circulaire et 2 pour un plot à face plane (Cassan et al, 2014[^2], Table 2).
Les modifications apportées à \(f_{h_*}(h_*)\) dans la version 4.14.0 de Cassiopée entraînent l'utilisation d'un coefficient de trainée \(C_x\) calibré sur les résultats des expérimentations pour le calcul de \(C_d\)&nbsp;:
$$ C_x = C_{d0}* 1.4917 -0.3914 $$
On a \(C_{x} = 1.1003\) pour \(C_{d0}=1\) et \(C_{x} = 2.592\) pour \(C_{d0}=2\).
### Coefficient de forme de bloc *σ*
......@@ -135,9 +141,9 @@ On a donc \(\sigma = \pi / 4\) pour un bloc circulaire et \(\sigma = 1\) pour un
La valeur de ce ratio est de (\(r=1.1\)) pour les blocs cylindriques (Tran et al. 2016 [^3]), et (\(r=1.5\)) pour les blocs à faces planes (Cassan et al. (2014)[^2], Table 2).
La formule utilisée dans Cassiopée permet une prise en compte de formes de plots intermédiaires entre les formes circulaire et carré à partir des valeurs de \(C_{d0} = 1.1\) pour les blocs cylindriques et \(C_{d0} = 2.6\) pour les blocs à faces planes&nbsp;:
La formule utilisée dans Cassiopée permet une prise en compte de formes de plots intermédiaires entre les formes circulaire et carré à partir des valeurs de \(C_{d0} = 1\) pour les blocs cylindriques et \(C_{d0} = 2\) pour les blocs à faces planes&nbsp;:
$$ r = (C_{d0} *0.4 + 1.121) / 1.5 $$
$$ r = 0.4 C_{d0} + 0.7 $$
### Froude *F*
......@@ -169,7 +175,7 @@ $$ u_{max} = V_g r \sqrt{f_F(F)} $$
### Fonction de correction du coefficient de trainée lié à la profondeur relative *f<sub>h\*</sub>(h<sub>\*</sub>)*
L'équation utilisée dans Cassiopée diffère légèrement de l'équation 20 de Cassan et al. 2014[^2] et l'équation 6 de Cassan et al. 2016[^1]. En effet, les récentes expériences ont montré une meilleure corrélation avec la formule suivante :
Depuis la version 4.14.0 de Cassiopée, l'équation utilisée dans Cassiopée diffère légèrement de l'équation 20 de Cassan et al. 2014[^2] et l'équation 6 de Cassan et al. 2016[^1]. En effet, les récentes expériences ont montré une meilleure corrélation avec la formule suivante :
$$ f_{h_*}(h_*) = \min \left((1 + 1 / h_*^2), 3 \right) $$
......
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