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sac de billes · Changes

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Create sac de billes authored by Poulard Christine's avatar Poulard Christine
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La « crue centennale » prise la main dans le sac !
Réflexions et outils pour illustrer cette notion faussement familière.
Page détaillée.
La démarche "les crues la main dans le sac" a été initiée lors d'une "Fête de la Science", sur une idée de Céline Berni, et a été progressivement affinée et augmentée.
Autour des expériences (tirer des billes d'un sac) puis de petits codes de démonstration, cette animation permet de se poser la question de la définition de "**crue centennale**" et des variantes de cette définition, de constater la **variabilité** (tirages au hasard) en comparant des réalisations à la composition connue du sac, et de se placer dans une optique de **prise de décision** : pour aménager le territoire, on raisonne sur une durée de plusieurs dizaines d'années (ce qui correspond à autant de tirages au hasard)... à quoi puis-je m'attendre sur cette période ? Dans le cas où je ne connaitrais pas la composition du sac... est-ce que je peux la deviner en effectuant des tirages au hasard ? L'air de rien, on aborde le problème de l'**analyse fréquentielle en hydrologie** : comment estimer le **régime des débits** à partir d'observations... (dit autrement : comment ajuster une loi de probabilité sur un échantillon).
Les prolongements à cette animation sont nombreux, en fonction du public :
- réflexion sur les "crues de projet" : les débits peuvent être liés à une période de retour, mais peut-on affecter une **période de retour à des crues** ? Comment sont construits les hydrogrammes supposés représentatifs d'une période de retour utilisés dans les codes de calcul hydrauliques pour estimer l'emprise des zones inondées ?
- manipuler les probabilités de crue sur plusieurs années (formule d'analyse combinatoire connue dès le lycée)
- initiation à l'hydrologie fréquentielle, comment estimer une relation débit-période de retour à partir d'un échantillon de crues observées sur N années, pourquoi l'estimation est-elle parfois proche ou parfois loin de la solution... (développé pour un TD Sciences de l'Eau de 1ère année d'école d'ingénieurs).
- comment interpréter une carte d'aléa inondation ? Comment ces cartes sont-elles construites ?
Pour en savoir plus : voir [le wiki de ce site](https://gitlab.irstea.fr/christine.poulard/eaudyssee-codesdecalcul/-/wikis/home).
## Résumé (le wiki détaille davantage les points techniques)
Pourquoi accorder autant d'importance à la crue centennale ? La "crue centennale" est très présente sur les cartes d'aléa inondation, et c'est sans doute celle qui revient le plus dans les journaux d'information, mais cela n'est pas forcément la crue à partir de laquelle les ennuis commencent... Tout dépend du lieu.
Dans une étude hydrologique, on s'attache à caractériser le **régime hydrologique** des hautes eaux, notamment en estimant la relation entre le **débit** (noté Q) et la **période de retour** (notée T). On définira cette notion dans la suite du texte, mais on peut déjà annoncer que si T=100 ans, le débit associé Q(T=100 ans) est le fameux **débit centennal**. En hydrologie, on cherche donc une relation entre Q et T pour toute une gamme de T, pas seulement pout T=100 ans...
C'est pour cela que nous avons tenu dans cette expérience à inclure plusieurs couleurs de bille, pour rappeler qu'il existe toute une gamme de débits possibles et que "la centennale" ne mérite pas l'attention exclusive !
**A quoi sert-il de connaître le "régime" des crues, soit la probabilité de survenue des débits ?**
Relier débit et période de retour, soit Q(T), est utile pour construire des scénarios de crue "probabilisés" (et on verra qu'il y a peut-être un petit piège quand on veut interpréter ces cartes !) ; ces scénarios de débit vont être passés dans un code de calcul hydraulique pour traduire ces débit en terme de surfaces inondées et de hauteurs d'inondation, qui sont des informations plus concrètes. L'estimation de zones inondées probabilisées peut à son tour être utilisée dans un autre calcul, celui du **risque** inondation, c'est à dire des conséquences en termes de dommages ou de personnes habitant en zone inondable par exemple. L'évaluation des Dommages Moyens Annualisés (combien en moyenne coûtent les crues, si on fait un calcul moyen sur un très grand nombre d'années) exige d'ailleurs de connaître les zones inondées pour toute la gamme de crues susceptibles de provoquer des dommages.
```
déroulement des étapes :
"période de retour des DEBITS (hydrologie)" ;
--> "Zones inondées pour chaque période de retour étudiée (hydraulique)" ;
--> "Dommages pour chaque zone inondée donc pour chauque période de retour (économie, ...)";
--> Calcul final = Dommages Moyens Annualisés
```
### Quel rapport entre un sac de billes et la probabilité d'inondation sur un tronçon ??
Prenons un cours d'eau ; ou plus raisonnablement un **tronçon de rivière**. En effet, lors d'un événement de crue, tous les affluents ne subissent pas les mêmes intensités de pluie, et l'inondation n'a pas la même ampleur sur tout le réseau. Sur ce tronçon, certaines années la crue maximale sera modeste, d'autres années on verra le cours d'eau déborder, et plus rarement le territoire subira des inondations, plus ou moins étendues...On peut souvent lire que la **crue centennale** est la crue qui "se produit une année sur 100 en moyenne " ; on va comprendre que cette définition est un peu trompeuse...
Prenons un sac de 100 billes, dont 90 noires, 8 vertes, 1 bleue et 1 rouge...
Il est donc tentant de dire que "tirer une bille rouge" sur les 100 billes possibles, c'est comme "observer une crue centennale" ?
#### peut-on classer les crues de la plus petite à la plus grande ?
Si on veut que la couleur représenter des "intensités" de crue, ou des "gravités" de crue, il faut trouver une unité de mesure. Une fois que l'on peut classer les crues, de la plus petite à la plus grande, on pourra déterminer le seuil "dépassé en moyenne une année sur 100" . Est-ce que c'est l'extension maximale (en hectares), les dommages, le débit maximum ?...
Dans cette note, on s'intéresse au **débit de pointe** de la crue sur un **tronçon de rivière**. En effet, souvent on dira qu'une crue est "centennale" quand le débit le plus fort de la crue a une valeur proche du **débit centennal**. L'avantage du débit est que c'est une variable qui se prête bien aux traitements statistiques, en tout cas sur une rivière qui n'est pas trop aménagée. Mais si on regarde de près deux événements passés, on trouvera que ce n'est pas celle dont le pic est le plus haut qui a causé le plus de dégâts, par exemple parce qu'elle a duré plus longtemps...
#### une couleur = une classe de débit
Si au lieu de raisonner sur des "crues" on raisonne sur des débits, le problème est donc plus simple, et on pourra s'appuyer sur des expériences pour "sentir" le comportement statistique. Ceux qui sont à l'aise avec les maths pourront poursuivre avec une partie plus technique. On reviendra sur cette hypothèse en fin de note.
La couleur ne représente pas une **valeur** de débit, il n'y en a que 4 dans mon sac alors que le débit dans une rivière peut prendre toute une gamme de valeurs, depuis les débits d'étiage (basses eaux) jusqu'aux débits d'inondation (hautes eaux)... Il s'agit donc en fait de "découper" la gamme des possibles en **classes**.
### La classe, mais **quelles classes** ?
La couleur code donc une **classe** de débits.
Si on étudiait une rivière en particulier, on pourrait estimer la valeur du débit centenal, noté Q100, et la bille rouge représenterait alors un tirage, une année donnée, d'une crue "supérieure à Q100". Ici, on reste dans le cas général, et les limites de classe seront définies par rapport aux "probabilités", comme cela sera défini juste en dessous. Ainsi, l'expérience est générique, et c'est bien aux notions de probabilité et de fréquences qu'elle propose de s'attaquer, de manière imagée et ludique.
**La bille rouge** et "le débit centennal"
A quoi correspond la bille rouge parmi 99 autres ?
La bille rouge a "une chance sur 100" d'être tirée ; dit autrement elle sera tirée **en moyenne une fois sur 100 tirages**. Si un tirage représente une année, est-ce que la bille rouge représente le débit centennal ?
<img src="/images/frequence_sac_2_Q100.svg" width="800">
On a vu que la couleur représente une **classe** de débits... Est-ce que la bille rouge représente "tomber pile sur le débit centennal" ? Si c'était le cas, mon expérience exclurait les crues "deux-centennales, cinq-centennales" ?... En fait, atteindre pile une valeur donnée a... une probabilité nulle car c'est qu'une possibité parmi une infinité d'autres, et en maths un sur l'infini, ça fait zéro. Vous avez déjà partagé un gâteau : plus il y a d'invités, plus les parts sont petites ; avec mille invités vous auriez une miette chacun... Et plus le nombre d'invités augmente, plus la part diminue, et tend vers zéro.
Ce n'est pas la probabilité de "tomber pile sur le débit centennal" qui vaut 1/100, c'est "l'atteindre ou dépasser" ! La bille rouge représente donc la *classe des débits au moins égaux au débit centennal".
Dit autrement, j'ai 99 chances sur 100 d'être **en-dessous du débit centennal", donc le complément c'est bien d'être **au-dessus** du débit centennal !
Suite de la **composition du sac** : 8 billes vertes, 1 bleue et 1 rouge... et 99 noires.
Il est important de ne pas se limiter à 1 bille rouge et 99 noires, ce qui donnerait trop d'importance au seuil centennal.
Pourquoi étudier toujours la crue centennale ? C'est une habitude ? un chiffre "rond" proche de l'espérance de vie humaine ?
Selon les endroits, les ennuis commencent avant ou après ce seuil, selon la topographie et les aménagements.
On va donc compléter avec quelques billes bleues et vertes pour nuancer. Voici la composition proposée, que l'on va expliquer en dessous.
<img src="/images/compo_sac.png" width="200"> hop, dans le sac <img src="/images/sac_grand_marron.png" width="150">
**1** <img src="/images/bille_rouge_grand.png" width="30"> : 1 chance sur 100 de tirer une bille rouge, soit autant de chances que la crue la plus forte ait un débit **au moins centennal** en un point donné d'une rivière l'année prochaine, ou n'importe quelle année donnée
**1** <img src="/images/bille_bleue_grand.png" width="30"> : certes, on a 2 chances sur 100 d'observer un débit au moins cinquantennal une année donnée, mais comme il y a déjà une bille rouge représentant les débits au moins centennaux...on place donc une seule bille bleue pour représenter les crues **au moins cinquantennales mais au plus centennales**...
**8** <img src="/images/bille_verte_grand.png" width="30"> : on a 1 chance sur 10 de dépasser le débit décennal une année donnée... Donc il faudrait 10 billes sur 100 ; cependant les billes bleue et rouge représentent déjà des tirages avec des débits supérieurs au débit décennal, il faut donc donc les déduire de l'effectif. Il reste 8 billes vertes représentant la classe de débits **supérieur au débit décennal mais inférieur au cinquantennal**.
**90** <img src="/images/bille_noire_grand.png" width="30">: 90 chances sur 100 de tirer une bille noire, soit 9 chances sur 10, comme la probabilité ne pas observer de débit **inférieur au débit décennal** une année donnée.
### En quoi cela peut-il nous aider à comprendre et manipuler correctement la notion de probabilité de "crue"... ou plutôt de débit ??
On continue à parler uniquement en **débit** ; on se reposera à la fin la question du lien entre la période de retour d'une crue et celle d'un débit.
**Quelle est la probabilité d'atteindre pile un débit donné ?**
Comme le débit peut prendre n'importe quelle valeur (variable aléatoire continue), la probabilité d'avoir "pile" une valeur donnée, par exemple "centennale" est **nulle** ! Par contre, on peut définir la **probabilité d'être dans une fourchette de valeurs**, autrement dit une **"classe"** de débit.
On commence par s'interroger sur la bille rouge: finalement, elle ne correspond pas à "un débit centennal", puisqu'on vient de voir que la probabilité d'avoir "pile" une centennale est nulle. En fait, elle représente à la classe des valeurs dépassées au moins une fois sur 100 : donc les débits "supérieur ou égaux au débit centennaux". De même, la bille bleue n'est pas un "débit cinquantennal" mais elle représente la classe des débits entre la période de retour 50 et 100 ans...
#### les messages :
##### une valeur de débit n'a pas de probabilité ; par contre on peut définir la probabilité qu'il soit dépassé
Comme le **débit** est une grandeur continue, c'est-à-dire qu'un débit peut prendre n'importe quelle valeur positive (jusqu'à une limite imposée par la physique...), la probabilité de tomber sur une valeur "pile" est... nulle. Par contre, on peut définir la probabilité de tomber au-dessus (ou au-dessous) d'une valeur... donc celle d'être **dans un intervalle**.
##### un débit n'a pas de probabilité mais il a une "période de retour moyenne estimée".
On peut exprimer le débit de **période de retour N années** de plusieurs façons :
=> c'est le débit **dépassé** en moyenne **une fois toutes les N années**...
=> c'est le débit **dépassé** en moyenne **une année sur N**...
=> ce débit a **une chance sur N** d'être dépassée l'année prochaine (ou n'importe quelle autre année) !
##### par contre, on peut définir la probabilité d'avoir une année donnée une crue de période de retour comprise entre T1 et T2 !
Les probabilités s'appliquent en effet à des classes de débit.
La probabilité de tirer une boule bleue est la même que celle d'avoir une année donnée une crue maximale annuelle de période de retour comprise entre 50 at 10 ans...
### Pourquoi est-ce intéressant de tirer plusieurs billes successivement ? Est-ce que je dois remettre les billes dans le sac entre deux tirages ??
Il est déjà intéressant de comprendre que l'on a une chance sur cent de subir une crue centennale... ah non, pardon, **un débit au moins centennal** chaque année. Mais je ne construis pas une maison ou une infrastructure pour un an : j'ai besoin en fait d'évaluer la probabilité d'être inondé sur une longue période, 10, 15 ou 50 ans...
On peut commencer à réfléchir en tirant des billes du sac : je suis plutôt confiant de ne pas tirer de bille rouge la première fois, il n'y en a qu'une sur cent... mais j'ai bien conscience que plus je prévois de faire de tirages, plus j'ai de "chance" de tomber dessus...
Attention, la probabilité de "tirer une rouge" n'évolue pas, elle reste de 1/100 car ce sont des tirages "avec remise", c'est-à-dire que je remets chaque bille tirée dans le sac. En effet, la composition du sac doit rester inchangée, car l'aléa inondation (=le phénomène physique) n'est pas affecté par l'historique. Si je subis une forte crue une année donnée, je n'ai pas de garantie d'être tranquille pour quelques temps...
Comme c'est un peu fastidieux de tirer physiquement des billes d'un sac, et qu'un tirage n'est qu'une réalisation parmi tout l'éventail des possibles, on va coder un petit programme pour tirer à notre place cent billes autant de fois que l'on voudra : c'est le code en Scratch.
Avec le même sac, j'ai parfois peu de crues fortes, d'autres fois j'en ai beaucoup... c'est le hasard !
<img src="/images/NeufTiragesDeCentCrues.png" width="300">
[résultat de 100 tirages](../-/wikis/Sac%20de%20billes%20version%20Python)
Cela doit nous faire réfléchir sur l'interprétation des observations : une plaine "sans histoire" peut avoir une probabilité d'inondation faible... ou bien elle a eu de la chance... jusqu'à présent.
### Peut-on évaluer la variabilité des réalisations ?
Même si on étudie un phénomène bien contrôlé, comme tirer une bille d'un sac, de composition fixe, les réalisations révèlent une étonnante diversité.
On pourrait évaluer **empiriquement** la variabilité des tirages, par exemple relever pour chaque groupe de 100 tirages si on obtient 0, 1 ou plus de deux crues centennales, pour estimer la probabilité de chacun de ces cas, mais il faudra multiplier les simulations pour que les chiffres se stabilisent.
On peut aussi déterminer ces probabilités **mathématiquement**.
L'un des codes en Python permet de [calculer la probabilité d'avoir k crues de période de retour au moins égale à T en N années](https://gitlab.irstea.fr/christine.poulard/eaudyssee-codesdecalcul/-/blob/master/Programmes%20en%20Python/ProbaCruesMaxAn_SurNannees_stairs.py)
Le texte plus détaillé présentera la formule (pour les lycéens et au-delà) ; on peut être surpris de calculer que l'on a environ une chance sur trois de ne pas avoir une crue centennale en cent ans, une chance sur trois d'en subir exactement une, et une chance sur trois d'en voir passer... deux et plus !
<img src="/images/ProbaCruesCentennalesEn100ans.png" width="300">
Avec ce code, on peut multiplier les exemples, et obtenir instantanément la probabilité d'avoir k crues décennales en 50 ans ou k crues cinquantennales en 200 ans...
#### les messages :
##### => en préparant le sac, j'ai déterminé qu'en un endroit donné, pour une année donnée, j'ai une chance sur 100 d'observer un débit au moins centennal , et une chance sur 100 que le débit max observé soit entre la cinquantennale et la centennale, et 8 chances sur 100 entre la décennale et la cinquantennale
##### => dit autrement, sur un très grand nombre de tirages, je tire en moyenne 1 fois sur 100 une bille rouge, 1 fois sur 100 une bleue, 8 fois sur 100 une verte... on a compris
##### => mais pour un nombre déterminé de tirages, par exemple 100, le hasard intervient : je peux avoir 0 bille rouge ou une, ou deux, ou trois, très rarement 4... et pareil pour chaque couleur : certains tirages sont "calmes" et d'autres sont émaillés de beaucoup plus de crues fortes qu'attendu... et pourtant, tous sont bien issus du même sac ou de la même loi de probabilité codée dans le programme.
A force de tester le code, on tombe sur des tirages atypiques : <img src="/images/DeuxTiragesAtypiques.PNG" width="400">
### je découvre sur une carte que j'habite en "zone de crue centennale" : est-ce que j'ai une "chance" sur cent d'être inondé chaque année ???
Les services de l'Etat publient différentes cartes représentant l'aléa inondation (PPRI, Plans de Prévention des Risques Inondation : cartes établies pour la Directive Inondation dans les Territoires à Risque d'Inondation...), qui doivent être compréhensibles pour tout un chacun.
Il faut faire attention au titre et à la légende:
- la carte présente-t-elle l'aléa pour tous types de phénomènes ou seulement pour le débordement du cours d'eau principal ?
- les instrastructures existantes (digues...) sont-elles prises en compte dans la modélisation ?
- et surtout, pour ce qui nous intéresse ici, quelle est la **probabilité** d'être inondé en un point donné.
Prenons l'exemple des cartes de synthèse des Territoires à Risque d'Inondation : la zone définie comme "inondable" compile les informations des 3 cartes établies chaucune pour un scénario de crue de probabilité différente, représentés en 3 nuances de vert.
La carte elle-même ne porte pas d'informations plus précise sur les probabilités, il faut aller les lire dans le rapport. D'après la Circulaire qui régit l'établissement de ces cartes en France, l'un des scénarios doit correspondre à une crue de période de retour centennale ou comprise entre 100 et 300 ans à préciser pour chaque carte, un autre doit correspondre à une crue plus fréquente, décennale ou comprise entre 10 et 30 ans, et le dernier correspond à une crue extrême, millénale environ (pour les phénomènes extrêmes, on peut difficilement être précis...).
Prenons un exemple où le rapport nous apprend que les scénarios d'inondation sont supposés représentatifs des périodes de retour 10, 100 et 1000 ans. J'ai trois nuances de vert... Est-ce que si j'habite dans la zone en vert moyen j'ai une probabilité de 1/100 d'être inondé chaque année ??
**Pas tout à fait ! !** Quand on regarde séparément les 3 cartes des 3 scénarios, on comprend que chaque zone correspond à la zone inondée par la crue supposée représentative d'une période de retour T : c'est **à la limite de chaque zone** que j'ai une probabilité d'inondation de 1/T (une chance sur 100 pour une crue centennale...). Au sein de la zone, je suis inondé plus souvent... et tout au coeur de la zone... dans le cours d'eau, évidemment l'inondation est permanente (d'accord, dans une rivière ça ne s'appelle pas une inondation en fait...).
C'est évident maintenant ?
Donc quand j'interprète une carte de TRI, je dois avoir en tête que la période de retour indiquée dans le rapport correspond à la limite de chaque zone... Entre deux limites, donc dans une zone colorée avec l'une des nuances de vert, je sais juste que la probabilité d'inondation est **comprise entre celle pour la limite extérieure de la zone et celle pour la limite intérieure".**
Le petit schéma suivant essaie d'illustrer cela, c'est un premier jet, il sera révisé.
<img src="/images/LegendeCarteInondation.png" width="400">
Pour reboucler sur notre sac de billes, si j'assimile la période de retour de la bille (en débit) et celle de la carte ; si je tire une bille... :
- **rouge**, toutes les zones en vert foncé et vert clair sont inondées car c'est **au moins une crue centennale** ; l'inondation s'étend au-delà, mais l'information avec la bille n'est pas assez précise pour savoir ;
- **bleue** ou **verte** : la précision de la carte ne permet pas de distinguer les deux : le débit est entre la décennale et la centennale : l'inondation s'étend au-delà du vert moyen, mais en-deça du vert clair. Bien entendu, la limite sera plus loin pour une bille bleu ;
- **noire** : le débit est en-deça de sa valeur décennale, l'inondation est contenue dans l'étendue "vert foncé".