Manuel-utilisateur/Calcul-de-la-vitesse-de-déplacement-des-traceurs.md

@@ -13,7 +13,32 @@
 
 # Principes
 
-La LSPIV utilise une méthode statistique en corrélation croisée sur les images orthorectifiées afin de déterminer le déplacement des traceurs visibles en surface. Les principes sont détaillés sur la page des [Principes de la mesure de la vitesse de déplacement des traceurs](#principes-de-la-mesure-de-la-vitesse-de-d%C3%A9placement-des-traceurs).
+La **LSPIV** utilise une **méthode statistique en corrélation croisée** sur les images orthorectifiées afin de **déterminer le déplacement des traceurs visibles en surface**. 
+
+<details><summary><b>:mag_right: Approfondissements :mag_right: </b></summary>
+<br> 
+# Principes de la mesure de la vitesse de déplacement des traceurs
+
+Une analyse statistique en corrélation croisée est effectuée sur les images orthorectifiées afin de déterminer le déplacement des traceurs visibles en surface. Le logiciel **_Fudaa-LSPIV_** utilise un algorithme optimisé pour les applications de grande échelle spatiale avec des résolutions d'images pouvant être faible. On calcule la corrélation entre une fenêtre d'interrogation (IA pour interrogation area) centrée sur un point _a<sub>ij</sub>_ dans une image et la même IA centrée sur un point _b<sub>ij</sub>_ dans l'image suivante, images séparées par un intervalle de temps de ∆t secondes. La [taille de la fenêtre d’interrogation est paramétrable](#param%C3%A8tres-du-calcul-des-d%C3%A9placements) dans **_Fudaa-LSPIV_**. Le coefficient de corrélation _R(a<sub>ij</sub>, b<sub>ij</sub>)_ est calculé ainsi :
+
+```math
+R\left( a_{i,j},b_{i,j} \right) = \frac{\sum_{i = 1}^{M_{i}}{\sum_{j = 1}^{M_{j}}\left\lbrack \left( A_{ij} - \overline{A_{ij}} \right)\left( B_{ij} - \overline{B_{ij}} \right) \right\rbrack}}{\left\lbrack \sum_{i = 1}^{Mi}{\sum_{j = 1}^{Mj}{\left( A_{ij} - \overline{A_{ij}} \right)^{2}\sum_{i = 1}^{Mi}{\sum_{j = 1}^{Mj}\left( B_{ij} - \overline{B_{ij}} \right)^{2}}}} \right\rbrack^{1/2}}
+```
+
+où $M_i$ et $M_j$ sont les tailles de la fenêtre d'interrogation (en pixel) et $A_{ij}$ et $B_{ij}$ sont les distributions des intensités des pixels dans les deux fenêtres d'interrogation. Ce calcul n'est effectué que pour des points $b_{ij}$ inclus dans une [fenêtre de recherche (SA pour Searching Area) définie par l'utilisateur](Manuel-utilisateur/Calcul-de-la-vitesse-de-déplacement-des-traceurs#param%C3%A8tres-du-calcul-des-d%C3%A9placements), permettant d’économiser du temps de calcul. On suppose que le déplacement le plus probable de l'écoulement à partir du point $a_{ij}$ pendant le temps $\Delta t$ est celui correspondant au maximum de corrélation, avec possibilité de définir une corrélation minimale requise.
+
+![image114](uploads/fe03235d4d9c3242bcc9ecb886c2e534/image114.png)
+
+La précision du calcul étant au pixel prés, il est intéressant de réaliser une interpolation sub-pixel. Soit $b_i,$j_i$ la position du maximum de corrélation. Dans **_Fudaa-LSPIV_**, un ajustement d’une loi Gaussienne unidimensionnelle est utilisé sur les axes i et j pour obtenir une précision de déplacement de l'ordre de 0,2 pixels sous la forme :
+
+```math
+\Delta i = \frac{\ln(b_{i - 1,j}) - ln(b_{i + 1,j})}{2\left\lbrack \\ln{(b_{i + 1,j}) - 2\ln(b_{i,j}) + \ln{(b}_{i - 1,j})} \right\rbrack} \quad \Delta j = \frac{\ln(b_{i,j-1}) - ln(b_{i,j+1})}{2\left\lbrack \\ln{(b_{i,j+1}) - 2\ln(b_{i,j}) + \ln{(b}_{i,j-1})} \right\rbrack}
+```
+
+La position sub-pixel du maximum de corrélation est don calculée comme $b_{i+\Delta i, j+\Delta j}$.
+
+Les vitesses de surface sont calculées à partir des déplacements $b_{i+\Delta i, j+\Delta j}-a_{ij}$ divisés par $\Delta t$. Le calcul est reproduit de manière itérative sur toute l'image pour chaque nœud de la [grille de calcul](Manuel-utilisateur/Calcul-de-la-vitesse-de-déplacement-des-traceurs#grille-de-calcul). On calcule ainsi un champ de vitesse 2D de surface, "instantané" (entre deux images successives).
+</details>
 
 Par ailleurs, certaines vitesses peuvent être déterminées manuellement. Ceci est particulièrement utile pour comparer avec les vitesses calculées par LSPIV et les valider.